Question

17．觀察下列等式：
第1個等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）；
第2個等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3個等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
…
請按以上規(guī)律解答下列問題：
（1）列出第5個等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{49}{99}$，那么n的值為49．

Answer 1

分析 （1）觀察等式可得a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），然后根據(jù)此規(guī)律就可解決問題；
（2）只需運用以上規(guī)律，采用拆項相消法即可解決問題．

解答 解：（1）觀察等式，可得以下規(guī)律：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）．
故答案為：$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；

（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{49}{99}$，
解得：n=49．
故答案為49．

點評 本題是規(guī)律探究題，考查了歸納猜想的能力，運用拆項相消法是解決第（2）小題的關鍵．