Question

矩形ABCD，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB，CD的延長(zhǎng)線分別交于E，F(xiàn)．問當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，AECF是菱形，并加以證明？

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．根據(jù)已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)EF⊥AC，可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．

解答：解：當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的對(duì)角線互相平分），
又∵OB=OD（矩形的對(duì)角線互相平分），
AE∥CF（矩形的對(duì)邊平行），
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，
在△BOE與△DOF中，

∠E=∠F ∠OBE=∠ODF BO=DO

，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
∴OE=OF
∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和菱形的判定．解答此題的關(guān)鍵是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定與性質(zhì)定理．