Question

如圖，以等腰△ABC中的腰AB為直徑作⊙O，交底邊BC于點D．過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（I）求證：DE為⊙O的切線；
（II）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,等腰三角形的性質

專題：證明題

分析：（Ⅰ）連接OD、AD，如圖，根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質得DB=DC，則可判斷OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，根據(jù)平行線的性質得DE⊥OD，則可根據(jù)切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（Ⅱ）由∠BAC=60°可判斷△ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得∠B=∠C=60°，又可判斷△OBD為等邊三角形，所以BD=OB=6，則CD=6，然后
在Rt△CDE中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系求解．

解答：（Ⅰ）證明：連接OD、AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵△ABC為等腰三角形，
∴DB=DC，
而OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE為⊙O的切線；
（Ⅱ）解：∵∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴△OBD為等邊三角形，
∴BD=OB=6，
∴CD=6，
在Rt△CDE中，CE=

1

2

CD=3，
∴DE=

3

CE=3

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質．