Question

19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于G點，若點A的坐標為（-1，0），AE=4．
（1）求點C的坐標；
（2）連接MG、BC，求證：MG∥BC．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥CD，根據垂徑定理可以得出弧AC=弧AD，結合C為弧AE的中點，可以推出弧CD=弧AE，進而求解；
（2）連接MC，根據垂徑定理，推出MC⊥AE，結合AE=CD，推出MG平分∠OMC，再根據三角形外角的性質，即可得出∠OMG=∠OBC，進而得出結論．

解答 解：（1）如圖1，

∵AB⊥CD，
∴弧AD=弧AC，OC=OD
∵弧AC=弧CE，
∴弧CD=弧AE，
∴CD=AE=4，
∴OC=OD=2，
∴點C的坐標為（0，2）
（2）如圖2，

連接MC，交AE于H．
∵C為弧AE的中點，
∴MC⊥AE，
又∵MO⊥CD，AE=CD，
∴MH=MO，
在Rt△OMG和Rt△HMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{MH=MO}\\{MG=MG}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△HMG，
∴∠OMG=∠HMG=$\frac{1}{2}$∠OMC，
∵MC=MB，
∴∠B=∠BCM，
∵∠OMC=∠B+∠BCM，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠OMC，
∴∠OMG=∠B，
∴MG∥BC．

點評 此題主要考查圓的綜合問題，會靈活運用垂徑定理，會構造全等三角形，熟悉三角形外角性質和平行線的判定是解題的關鍵．