Question

已知在△OMN中，OM=ON，∠MON=90°，點B為MN的延長線上一點，OC⊥OB，且OC=OB，OG⊥BC于G，交MN于點A．
（1）如圖1，①求證：∠CMB=90°；
②求證：AM²+BN²=AB²．
（2）如圖2，在條件（1）下，過A作AE⊥OM于E，過B作BF⊥ON于F，EA、BF的延長線交于點P，則PA、AE、BF之間的數(shù)量關(guān)系為

 

，△AME、△PAB、△BFN的面積之間的關(guān)系為

 

．
（3）如圖3，在條件（2）下，分別以O(shè)M、ON為x軸和y軸建立坐標系，雙曲線 經(jīng)過點P，若 y=

k

x

經(jīng)過點P，若MN=2

2

，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得到一對直角相等，再利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形MOC與三角形NOB全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠MCO=∠NBO，根據(jù)三角形BOD為直角三角形，等量代換即可得證；②連接AC，由三角形MCO與三角形NBO全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BN=CM，在直角三角形AMC中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可得證；
（2）AP²=AE²+BF²，理由為：由題意得到三角形MEA與三角形NFB都為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得證；根據(jù)題意得到S_△BFN+S_△AME=S_△PAB；
（3）由三角形MON為等腰直角三角形，根據(jù)MN的長，利用勾股定理求出OM與ON的長，設(shè)P（x，y），x＞0，y＞0，進而表示出AE=ME=2-x，BF=y-2，PA=y-（2-x），根據(jù)AP²=AE²+BF²，得到xy的值，即為k的值．

解答：（1）①證明：∵∠MON=∠BOC=90°，
∴∠MON-∠CON=∠COB-∠CON，即∠MOC=∠NOB，
在△MOC和△NOB中，

OM=ON ∠MOC=∠NOB OC=OB

，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴∠MCO=∠NBO，
在△OBD中，∠ODB+∠NBO=90°，∠ODB=∠MDC，
∴∠MDC+∠MCO=90°，
則∠CMB=90°；
②證明：連接CA，如圖所示，
由△MOC≌△NOB，得到BN=CM，
∵△COB為等腰直角三角形，OG⊥BC，
∴AB=AC，
在Rt△CMA中，利用勾股定理得：AM²+CM²=AC²，
∴AM²+BN²=AB²；
（2）解：∵△MON為等腰直角三角形，
∴∠M=45°，
∵AE⊥ON，BF⊥ON，
∴∠MAE=45°，∠B=∠FNB=45°，
∴△MEA和△NFB都為等腰直角三角形，
∴AE²=

1

2

AM²，BF²=

1

2

BN²，
∴AE²+BF²=

1

2

（AM²+BN²）=

1

2

AB²，
∵AP²=

1

2

AB²，
∴AP²=AE²+BF²；
根據(jù)題意得：S_△BFN+S_△AME=S_△PAB；
故答案為：AP²=AE²+BF²；S_△BFN+S_△AME=S_△PAB；
（3）解：∵MN=2

2

，△OMN為等腰直角三角形，
∴OM=ON=2，
設(shè)P（x，y），x＞0，y＞0，
則AE=ME=2-x，BF=y-2，PA=y-（2-x），
根據(jù)AP²=AE²+BF²，得到（x+y-2）²=（2-x）²+（y-2）²，
整理得：xy=2，
則k=xy=2．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．