Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P沿C→B方向做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿C→D→A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求CD的長；
（2）若點(diǎn)P以1cm/s速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連接BQ、PQ，設(shè)△BQP面積為S（cm2），點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P的速度仍是1cm/s，點(diǎn)Q的速度為acm/s，要使在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)PQ∥DC，請(qǐng)你直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：過D點(diǎn)作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，

則有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．

∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm．

在Rt△DCH中，∠DHC=90°，

∴CD= =8 cm．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），則PC=t．

① 當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，過Q點(diǎn)作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，則QC=2 t．

又∵DH=HC，DH⊥BC，

∴∠C=45°．

∴在Rt△QCG中，QG=QCsin∠C=2 t×sin45°=2t．

又∵BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ= BP×QG= （14﹣t）×2t=14t﹣t2．

當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間t= = =4．

∴S=14t﹣t2（0＜t≤4）．

②當(dāng)點(diǎn)Q在DA上時(shí)，過Q點(diǎn)作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，

則：QG=AB=8cm，BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ= BP×QG= （14﹣t）×8=56﹣4t．

當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間t= = =4+ ．

∴S=56﹣4t（4＜t≤4+ ）．

綜合上述：所求的函數(shù)關(guān)系式是：

S=14t﹣t2（0＜t≤4），

S=56﹣4t（4＜t≤4+ ）；

（3）解：要使運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)PQ∥DC，

∵AD∥BC，∴CPQD是平行四邊形，

∴CP=DQ，

1t=at﹣8 ，

∴t= ①，

又∵Q點(diǎn)在AD邊上，

∴ ＜t≤ ②，

把①代入②，解得a≥1+ ．

故a的取值范圍是a≥1+ ．

【解析】（1）過D點(diǎn)作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則在Rt△DCH中，由DH、CH的長度，運(yùn)用勾股定理即可求出CD的長；（2）由于點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q沿C→D→A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，所以分兩種情況討論：①點(diǎn)Q在CD上；②點(diǎn)Q在DA上．針對(duì)每一種情況，都可以過Q點(diǎn)作QG⊥BC于G．由于點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），可用含t的代數(shù)式分別表示BP、QG的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）令DQ=CP，Q點(diǎn)在AD邊上，求出a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和直角梯形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能正確解答此題．