Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D為AC邊上一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到線段AE，使得AE⊥AB，且點E、D、B恰好在同一直線上，作EM⊥AC于點M．
（1）若線段AD逆時針旋轉(zhuǎn)了54°，求∠CBD的度數(shù)；
（2）求證：AB=EM+BC．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=54°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE，根據(jù)對頂角相等可得∠BDC=∠ADE，然后利用直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解；
（2）過點D作DF⊥AB于F，根據(jù)同角的余角相等求出∠AEM=∠DAF，再利用“角角邊”證明△AEM和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=EM，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CBD=∠ABD，然后利用角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DF，利用“HL”證明Rt△BCD和Rt△BFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BC=BF，再根據(jù)AB=AF+BF等量代換即可得證．

解答：（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AD=AE，∠DAE=54°，
∴∠ADE=

1

2

（180°-∠DAE）=

1

2

（180°-54°）=63°，
∵∠BDC=∠ADE=63°，∠C=90°，
∴∠CBD=90°-∠BDC=90°-63°=27°；

（2）證明：如圖，過點D作DF⊥AB于F，
∵AE⊥AB，EM⊥AC，
∴∠AEM+∠EAM=∠DAF+∠EAM=90°，
∴∠AEM=∠DAF，
在△AEM和△DAF中，

∠AEM=∠DAF ∠AME=∠DFA=90° AD=AE

，
∴△AEM≌△DAF（AAS），
∴AF=EM，
∵∠CBD+∠BDC=90°，
∠ABD+∠AED=90°，
∠AED=∠ADE=∠BDC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴CD=DF，
在Rt△BCD和Rt△BFD中，

BD=BD CD=DF

，
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BC=BF，
由圖可知，AB=AF+BF，
∴AB=EM+BC．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．