Question

【題目】 已知矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝6

操作將矩形紙片沿EF折疊使點B落在邊CD上．探究

（1）如圖1，若點B與點D重合，你認為△EDA1和△FDC全等嗎？如果全等，請給出證明；如果不全等，請說明理由；

（2）如圖2，CD上是否存在一點B1，當點B落在B1處時，△FCB1與△B1DG全等？若存在，求出B1C的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）全等，證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折疊的性質可得：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，然后利用同角的余角相等，可證得∠A1DE=∠CDF，則可利用ASA證得△EDA1和△FDC全等；
（2）設B1C=a，則有FC=B1D=4-a，B1F=BF=2+a，在直角△FCB1中，可得（2+a）2=（4-a）2+a2，解此方程即可求得答案．

解：（1）全等．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，

由題意知：∠A＝∠A1，∠B＝∠A1DF＝90°，AB=CD＝A1D，∠B＝∠A1DF＝90°

∴∠A1＝∠C＝90°，∠CDF+∠EDF＝90°，∠EDA1+∠EDF＝90°

∴∠A1DE＝∠CDF，

在△EDA1和△FDC中，

，

∴△EDA1≌△FDC（ASA）；

（2）∵△FCB1與△B1DG全等，∠CFB1＝∠GB1D，

∴CF＝DB1，

設B1C＝a，則有FC＝B1D＝4﹣a，B1F＝BF＝2+a，

在直角△FCB1中，可得（2+a）2＝（4﹣a）2+a2，

整理得a2﹣12a+12＝0，

解得：a＝6﹣2（另一解舍去），

∴當B1C＝6﹣2時，△FCB1與△B1DG全等．