Question

【題目】已知矩形0ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10，8)，點(diǎn)Q為線段AC上-點(diǎn)，其坐標(biāo)為(5，n).

(1)求直線AC的表達(dá)式

(2)如圖，若點(diǎn)P為坐標(biāo)軸上-動點(diǎn)，動點(diǎn)P沿折線AO→0C的路徑以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，到達(dá)C處停止求Δ0PQ的面積S與點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式.

(3)若點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)任意-.點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以0，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 當(dāng)點(diǎn)P在A0上運(yùn)動時(shí)，S=2t+20 ，當(dāng)點(diǎn)P在0C上運(yùn)動時(shí)，S (10≤t≤18) ；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，12)，(5，-4)，(-5，4)

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式；
（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，分點(diǎn)P在OA和點(diǎn)P在OC上兩種情況，利用三角形的面積公式可找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分OC為對角線、OQ為對角線以及CQ為對角線三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)（對角線互相平分）即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1)沒直線AC的解析式為y=kx+b，

由題知C(0，8)，A(10，0)

∴

解之得

∴

(2)∵Q(5，n)在直線上

∴n=4

∴Q(5，4)

當(dāng)點(diǎn)P在A0上運(yùn)動時(shí)，

=2t+20

當(dāng)點(diǎn)P在0C上運(yùn)動時(shí)，

(10≤t≤18)

(3) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，c），分三種情況考慮（如圖2）：

①當(dāng)OC為對角線時(shí)，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（-5，4）；
②當(dāng)OQ為對角線時(shí)，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（5，-4）；
③當(dāng)CQ為對角線時(shí)，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： span>，
∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（5，12）．
綜上所述：存在點(diǎn)P，使以O，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，4），（5，-4），（5，12）．

故答案為：(1) ； (2) 當(dāng)點(diǎn)P在A0上運(yùn)動時(shí)，S=2t+20 ，當(dāng)點(diǎn)P在0C上運(yùn)動時(shí)，S (10≤t≤18) ；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，12)，(5，-4)，(-5，4) ．