Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF，

(1)如圖1，若AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線，還需要添加的條件是(只須寫出兩種不同情況)① 或② ．

(2)如圖2，若AB為非直徑的弦，∠CAE＝∠B，試說明EF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】(1)①EF⊥AB，②∠EAC＝∠B； (2)證明見解析.

【解析】

（1）添加條件EF⊥AB，根據(jù)切線的判定推出即可；添加條件∠EAC=∠B，根據(jù)直徑推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）作直徑AM，連接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．

(1)添加的條件是①EF⊥AB，

理由是∵EF⊥AB，OA是半徑，

∴EF是⊙O的切線；

②∠EAC＝∠B，

理由是：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠C＝90°，

∴∠B+∠CAB＝90°，

∵∠EAC＝∠B，

∴∠EAC+∠CAB＝90°，

∴EF⊥AB，

∵OA是半徑，

∴EF是⊙O的切線；

(2)

作直徑AM，連接CM，

即∠B＝∠M(在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等)，

∵∠EAC＝∠B，

∴∠EAC＝∠M，

∵AM是⊙O的直徑，

∴∠ACM＝90°，

∴∠CAM+∠M＝90°，

∴∠EAC+∠CAM＝90°，

∴EF⊥AM，

∵OA是半徑，

∴EF是⊙O的切線．