Question

9．如圖，△ABC是等邊三角形，∠DAE=120°．求證：
（1）AD•AE=AB•DE；
（2）BC²=DB•CE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠DAB+∠CAE=60°，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠CAE+∠E=∠ACB=60°，求得∠DAB=∠E，根據(jù)鄰補角的定義得到∠ABD=∠ACE=120°，推出△ABD∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AE}$，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論證得△ABD∽△ECA可知$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{AC}$，即AB•AC=BD•CE，故可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠CAE+∠E=∠ACB=60°，
∴∠DAB=∠E，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AE}$，
∴AD•AE=AB•DE；

（2）∵∠DAB=∠E，∠ABC=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{AC}$，
即AB•AC=BD•CE，
∵AB=AC=BC，
∴BC²=BD•CE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．