Question

【題目】如圖甲所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)．

（1）如圖甲，點(diǎn)為拋物線上，兩點(diǎn)間的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)面積最大時(shí)，在對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，如圖乙所示，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，連接，，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖丙所示，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為以為腰的等腰三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2），．

【解析】

（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由面積最大，得到最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，將向左平移一個(gè)單位，使點(diǎn)于點(diǎn)重合，點(diǎn)落在軸上的點(diǎn)處，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，此時(shí)最小，最小值為，從而可得答案，

（2）旋轉(zhuǎn)過程中分兩種情況討論，當(dāng) 時(shí)，設(shè)，過作于，過 作于 利用相似三角形的性質(zhì)表示的坐標(biāo)，利用勾股定理建立方程組求解可得答案，當(dāng)同理可得答案．

解：（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)

設(shè)，

，

當(dāng)

令

解得：

設(shè)為

解得：

為

．

∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)的面積也最大．

此時(shí)

將向左平移一個(gè)單位，使點(diǎn)于點(diǎn)重合，點(diǎn)落在軸上的點(diǎn)處，

點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

此時(shí)

，

為，

此時(shí)

（2）由題意知：

當(dāng) 時(shí)，

如圖，設(shè)，過作于，過 作于

解得：

或

如圖，當(dāng)

同理可得：

解得：

或，

綜上：