Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0（k為常數(shù)）．
（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程的兩根互為倒數(shù)，求該方程的兩根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得到△=（k-2）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△≥0，則根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2k=1，解得k=

1

2

，原方程變形為x²-

5

2

x+1=0，整理得2x²-5x+2=0，然后利用因式分解法解方程．

解答：（1）證明：∵△=（k+2）²-4×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴無論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得2k=1，解得k=

1

2

，
原方程變形為x²-

5

2

x+1=0，
整理得2x²-5x+2=0，
（2x-1）（x-2）=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式（△=b²-4ac）：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．