如圖1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,有一過點C的動圓⊙O與斜邊AB相切于動點P,連接CP.
(1)當(dāng)⊙O與直角邊AC相切時,如圖2所示,求此時⊙O的半徑r的長;
(2)隨著切點P的位置不同,弦CP的長也會發(fā)生變化,試求出弦CP的長的取值范圍.
(3)當(dāng)切點P在何處時,⊙O的半徑r有最大值?試求出這個最大值.
考點:圓的綜合題
專題:
分析:(1)先根據(jù)勾股定理求出AB的長,再由切線的性質(zhì)求出PB的長,過P作PQ⊥BC于Q,過O作OR⊥PC于R,根據(jù)PQ∥AC得出PC的長,再由△COR∽△CPQ即可得出r的值;
(2)根據(jù)最短PC為AB邊上的高,最大PC=BC=4即可得出結(jié)論;
(3)當(dāng)P與B重合時,圓最大.這時,O在BD的垂直平分線上,過O作OD⊥BC于D,由BD=
1
2
BC=2,由于AB是切線可知∠ABO=90°,∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°,故可得出∠ABC=∠BOD,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.
解答:(1)解:如圖1,∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=
AC2+BC2
=
32+42
=5.
∵AC、AP都是圓的,圓心在BC上,AP=AC=3,
∴PB=2,
過P作PQ⊥BC于Q,過O作OR⊥PC于R,
∵PQ∥AC,
PQ
PB
=
BQ
BC
=
AC
AB
=
3
5
,
∴PQ=
6
5
,BQ=
8
5

∴CQ=BC-BQ=
12
5
,
∴PC=
PQ2+CQ2
=
6
5
5
,
∵點O是CE的中點,
∴CR=
1
2
PC=
3
5
5
,
∴∠PCE=∠PCE,∠CRO=∠CQP,
∴△COR∽△CPQ,
OC
CR
=
PC
CQ
,即
r
3
5
5
=
6
5
5
12
5
,解得r=
3
2
;

(2)解:∵最短PC為AB邊上的高,即PC=
3×4
5
=
12
5
,最大PC=BC=4,
12
5
≤PC≤4;

(3)解:如圖2,當(dāng)P與B重合時,圓最大.O在BD的垂直平分線上,過O作OD⊥BC于D,由BD=
1
2
BC=2,
∵AB是切線,
∴∠ABO=90°,
∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°,
∴∠ABC=∠BOD,
BD
OB
=sin∠BOD=sin∠ABC=
BC
AB
=
4
5

∴OB=
5
2
,即半徑最大值為
5
2
點評:本題考查的是圓的綜合題,熟知切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識是解答此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=
 
;
(2)a0+a2+a4+a6=
 
;
(3)a1+a3+a5+a7=
 

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證明:
2
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作一條直線平分三角形的面積,這樣的直線有
 
條.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

⊙O的半徑6cm,當(dāng)OP=6時,點A在
 
;當(dāng)OP
 
 時點P在圓內(nèi);當(dāng)OP
 
時,點P不在圓外.

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16.5
=4
0.5
 
(判斷對錯)

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將多項式 3x3-2x2+4x-5添括號后正確的是( 。
A、3x3-(2 x2+4x-5 )
B、( 3x3+4x)-(2 x2+5)
C、(3x3-5)+(-2 x2-4x)
D、2 x2+(3x3+4x-5)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,
AB
AD
=
AC
AE
=
BC
DE
=
6
5
,且△ABC與△ADE周長之差為4,求△ABC與△ADE的周長.

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