【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過△ABC的三個頂點,與y軸相交于(0, ),點A坐標為(﹣1,2),點B是點A關于y軸的對稱點,點C在x軸的正半軸上.
(1)求該拋物線的函數(shù)關系表達式.
(2)點F為線段AC上一動點,過F作FE⊥x軸,F(xiàn)G⊥y軸,垂足分別為E、G,當四邊形OEFG為正方形時,求出F點的坐標.
(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當點E和點C重合時停止運動,設平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點M,DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵點B是點A關于y軸的對稱點,
∴拋物線的對稱軸為y軸,
∴拋物線的頂點為(0, ),
故拋物線的解析式可設為y=ax2+ .
∵A(﹣1,2)在拋物線y=ax2+ 上,
∴a+ =2,
解得a=﹣ ,
∴拋物線的函數(shù)關系表達式為y=﹣ x2+
(2)
解:①當點F在第一象限時,如圖1,
令y=0得,﹣ x2+ =0,
解得:x1=3,x2=﹣3,
∴點C的坐標為(3,0).
設直線AC的解析式為y=mx+n,
則有 ,
解得 ,
∴直線AC的解析式為y=﹣ x+ .
設正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p).
∵點F(p,p)在直線y=﹣ x+ 上,
∴﹣ p+ =p,
解得p=1,
∴點F的坐標為(1,1).
②當點F在第二象限時,
同理可得:點F的坐標為(﹣3,3),
此時點F不在線段AC上,故舍去.
綜上所述:點F的坐標為(1,1)
(3)
解:過點M作MH⊥DN于H,如圖2,
則OD=t,OE=t+1.
∵點E和點C重合時停止運動,∴0≤t≤2.
當x=t時,y=﹣ t+ ,則N(t,﹣ t+ ),DN=﹣ t+ .
當x=t+1時,y=﹣ (t+1)+ =﹣ t+1,則M(t+1,﹣ t+1),ME=﹣ t+1.
在Rt△DEM中,DM2=12+(﹣ t+1)2= t2﹣t+2.
在Rt△NHM中,MH=1,NH=(﹣ t+ )﹣(﹣ t+1)= ,
∴MN2=12+( )2= .
① 當DN=DM時,
(﹣ t+ )2= t2﹣t+2,
解得t= ;
②當ND=NM時,
﹣ t+ = = ,
解得t=3﹣ ;
③當MN=MD時,
= t2﹣t+2,
解得t1=1,t2=3.
∵0≤t≤2,∴t=1.
綜上所述:當△DMN是等腰三角形時,t的值為 ,3﹣ 或1
【解析】(1)易得拋物線的頂點為(0, ),然后只需運用待定系數(shù)法,就可求出拋物線的函數(shù)關系表達式;(2)①當點F在第一象限時,如圖1,可求出點C的坐標,直線AC的解析式,設正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p),代入直線AC的解析式,就可求出點F的坐標;②當點F在第二象限時,同理可求出點F的坐標,此時點F不在線段AC上,故舍去;(3)過點M作MH⊥DN于H,如圖2,由題可得0≤t≤2.然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2 , 分三種情況(①DN=DM,②ND=NM,③MN=MD)討論就可解決問題.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在李村河治理工程實驗過程中,某工程隊接受一項開挖水渠的工程,所需天數(shù)y(天)與每天完成的工程量x(m/天)的函數(shù)關系圖象如圖所示,是雙曲線的一部分.
(1)請根據題意,求y與x之間的函數(shù)表達式;
(2)若該工程隊有2臺挖掘機,每臺挖掘機每天能夠開挖水渠15米,問該工程隊需用多少天才能完成此項任務?
(3)如果為了防汛工作的緊急需要,必須在一個月內(按30天計算)完成任務,那么每天至少要完成多少米?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年9月11日,以“綠色生活從你我做起”為主題的重慶市第四屆生態(tài)文明知識競賽活動正式啟動.某校組織全校學生參與后,王老師抽取了班上第一大組8名學生的成績,若以80分為標準,超過的分數(shù)用正數(shù)表示,不足的分數(shù)用負數(shù)表示,成績記錄如下:﹣3,+7,﹣12,+18,+6,﹣5,﹣21,+14
(1)最高分比最低分多多少分?第一大組平均每人得多少分?
(2)若規(guī)定:成績高于80分的學生操行分每人加3分,成績在60~80分的學生操行分每人加2分,成績在60分以下的學生操行分每人扣1分,那么第一大組的學生共加操行分多少分?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖.矩形ABCD的對角線相交于點O.DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若∠ACB=30°,菱形OCED的面積為8 ,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口,各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行?為什么?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是直線上的一點,是任意一條射線,平分,平分.
(1)圖中的補角為 ;
(2)若,求的度數(shù);
(3)與存在怎樣的數(shù)量關系?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新學期開學,某體育用品商店開展促銷活動,有兩種優(yōu)惠方案.
方案一:不購買會員卡時,乒乓球享受8.5折優(yōu)惠,乒乓球拍購買5副(含5副)以上才能享受8.5折優(yōu)惠,5副以下必須按標價購買.
方案二:辦理會員卡時,全部商品享受八折優(yōu)惠,小健和小康的談話內容如下:
會員卡只限本人使用.
(1)求該商店銷售的乒乓球拍每副的標價.
(2)如果乒乓球每盒10元,小健需購買乒乓球拍6副,乒乓球a盒,請回答下列問題:
①如果方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多,求a的值;
②直接寫出一個恰當?shù)?/span>a值,使方案一比方案二優(yōu)惠;
③直接寫出一個恰當?shù)?/span>a值,使方案二比方案一優(yōu)惠.
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