Question

問題探究

（1）請在圖①的正方形ABCD內(nèi)，作出使∠APB=60°的一個點P，并說明理由．
（2）請在圖②的正方形ABCD內(nèi)（含邊），作出使∠APB=90°的所有的點P．
（3）如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD，AB=4，CD=8工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP′D鋼板，且∠APB=∠CP'D=45°．請你在圖③中畫出符合要求的點P和P′，并求出△APB的面積（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定畫出即可；
（2）根據(jù)圓周角定理（直角所對的圓周角是直角）畫出即可；
（3）根據(jù)圓周角定理即可畫出P點，求出AC，根據(jù)三角形面積公式求出BG，求出PG，AG，根據(jù)三角形面積公式求出面積即可．

解答：解：（1）如圖①，

分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧交正方形ABCD內(nèi)一點P，
連AP、BP，即為所求．
理由：因為AB=AP=BP，
所以三角形PAB為等邊三角形，
所以∠APB=60°；

（2）如圖②，

畫法如下：
①作AB邊的垂直平分線，交AB于O；
②以O(shè)為圓心，OA為半徑作半圓，（A、B兩點除外）；
P在⊙O中，直徑AB所對圓周角均為90°，
∴弧AB（AB除外）上的所有點均為所求的點P；

（3）如圖③，

畫法如下：
①連接AC，
②作AB邊的垂直平分線，交AB于O，
③以O(shè)為圓心，OA為半徑作半圓，交中垂線于O′，
④以O(shè)′為圓心，O′A為半徑，作⊙O′交AC于點P，
⑤在AC上截取AP=CP′，
則點P‘P′為所求，
過點B作BG⊥AC，交AC于點G，
∵在Rt△ABC中，AB=4，CD=8．
∴AC=4

5

，
在Rt△ABC中，由三角形的面積公式得：

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BG，
∴BG=

AB×BC

AC

=

4×8

4 5

=

8 5

5

，
在Rt△BGP中，∠BGP=90°，∠APB=45°，BG=

8 5

5

，
∴PG=BG=

8 5

5

，
在Rt△AGB中，∠BGA=90°，AB=4，BG=

8 5

5

，
AG=

AB2-BG2

=

4 5

5

，
∴S△ABP=

1

2

(

4

5

5

+

8

5

5

)•

8

5

5

=

48

5

．

點評：本題考查了勾股定理，正方形性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，線段垂直平分線等知識點的應(yīng)用，題目是一道比好的題目，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．