Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（Ⅰ）若點(diǎn)E在對(duì)角線BD₁上移動(dòng)，求證：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）當(dāng)E為棱AB中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面ACD₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）若點(diǎn)E在對(duì)角線BD₁上移動(dòng)，求證：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，求出向量

AD1

，

AC

的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)E到平面ACD₁的距離，求出平面ACD₁的法向量，利用距離公式可得答案．

解答： （Ⅰ）證明：由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，得：AB⊥面ADD₁A₁．
而A₁D?面ADD₁A₁，∴AB⊥A₁D．
又由正方形ADD₁A₁，得：A₁D⊥AD₁，而AD₁∩AB=A
∴A₁D⊥面ABD₁，
于是A₁D⊥BD₁，
∵E∈BD₁，∴D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）解：分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，知E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
則

AD1

=（-1，0，1），

AC

=（-1，2，0），
設(shè)點(diǎn)E到平面ACD₁的距離為d，

n

=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
則

-x+z=0 -x+2y=0

，取

n

=（2，1，2），
而

AE

=（0，1，0），
∴d=

| n • AE |

| n |

=

1

3

為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力．