Question

已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的橢圓C過點Q（1，

3

2

），且點Q在x軸的射影恰為該橢圓的一個焦點F₁．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）命題：“關于雙曲線C的命題為：過雙曲線

x2

3

-y²=1的焦點F₁（2，0）作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|F1M|

為定值，且定值是

3

．”命題中涉及了這么幾個要素；給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點F的弦AB，AB的垂直平分線試類比上述命題，寫出一個關于橢圓C的類似的正確命題，并加以證明：
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于圓錐的曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，由題意知

c=1 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（II）關于橢圓C的類似命題為：“過橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是4”．
設直線l的方程為y=k（x-1），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0．由此利用韋達定理結合已知條件推導出

|AB|

|F1M|

=4．
（III）歸納總結（Ⅱ）的規(guī)律，能推廣出關于圓錐的曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題．

解答： 解：（I）∵中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的橢圓C過點Q（1，

3

2

），
且點Q在x軸的射影恰為該橢圓的一個焦點F₁，
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，
且

c=1 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（II）關于橢圓C的類似命題為：“過橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是4”…（6分）
證明如下：
由于l與x軸不垂直，可設直線l的方程為y=k（x-1）
①當k≠0時，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0．
依題意l與C有兩個交點A、B，所以△＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)=

-6k

3+4k2

，
∴線段AB的中點P的坐標為(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)，…（8分）
AB的垂直平分線MP的方程為：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)．
令y=0，解得x=

k2

3+4k2

，即M(-

k2

3+4k2

，0)，
∴|F1M|=

3(1+k2)

3+4k2

．…（9分）
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 8k2 3+4k2 )2-4(- 4k2-12 3+4k2 )

=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

|AB|

|F1M|

=4．…（10分）
②k=0時，結論成立．
綜上所述，結論成立．
（III）過圓錐曲線E的焦點F作與焦點所在的對稱軸不垂直的任意直線l交E于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交焦點所在的對稱軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，定值是

2

e

（共中e為圓錐曲線E的離心率）．…（13分）

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關系的應用，方程的根與系數(shù)關系的應用及弦長公式的求解，解答本題還要求考試具備一定的邏輯推理與運算的能力．