Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD于E（不同于點(diǎn)D），延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A₁-BCD，如圖2所示．

（Ⅰ）若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線DM∥平面A₁EF；
（Ⅱ）求證：BD⊥A₁F；
（Ⅲ）若平面A₁BD⊥平面BCD，試判斷直線A₁B與直線CD能否垂直？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由三角形中位線定理推導(dǎo)出DM∥EF，由此能證明DM∥平面A₁EF．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥平面A₁EF，由此能證明BD⊥A₁F．
（Ⅲ）直線A₁B與直線CD不能垂直．假設(shè)A₁B⊥CD，能推導(dǎo)出A₁B⊥BD，這與∠A₁BD為銳角矛盾．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镈，M分別為AC，CF中點(diǎn)，
所以DM∥EF，（2分）
又EF?平面A₁EF，DM?平面A₁EF
所以DM∥平面A₁EF．（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)锳₁E⊥BD，EF⊥BD，且A₁E∩EF=E，
所以BD⊥平面A₁EF，（7分）
又A₁F?平面A₁EF
所以BD⊥A₁F．（9分）
（Ⅲ）解：直線A₁B與直線CD不能垂直，（10分）
因?yàn)槠矫鍭₁BD⊥平面BCD，
平面A₁BD∩平面BCD=BD，EF⊥BD，EF?平面CBD，
所以 EF⊥平面A₁BD．（12分）
因?yàn)锳₁B?平面A₁BD，所以A₁B⊥EF，
又因?yàn)镋F∥DM，所以A₁B⊥DM．
假設(shè)A₁B⊥CD，
因?yàn)锳₁B⊥DM，CD∩DM=D，
所以A₁B⊥平面BCD，（13分）
所以A₁B⊥BD，
這與∠A₁BD為銳角矛盾
所以直線A₁B與直線CD不能垂直．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查兩直線能否垂直的判斷與證明，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．