Question

已知A（8，0），B、C兩點(diǎn)分別在y軸上和x軸上運(yùn)動，并且滿足

AB

•

BP

=0，

BC

=

CP

，
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若過點(diǎn)A的直線l與動點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，

QM

•

QN

=97，其中Q（-1，0），求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線有關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程,直線的一般式方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）分別設(shè)出B、C、P的坐標(biāo)，得到有關(guān)向量的坐標(biāo)，由

AB

•

BP

=0，

BC

=

CP

聯(lián)立求得動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)出直線l的方程y=kx-8k，和拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和與積，由

QM

•

QN

=97列式求出k的值，不滿足方程的判別式大于0，直線l不存在．

解答： 解：（1）設(shè)B（0，b），C（c，0），P（x，y），則

AB

=(-8，b)，

BP

=(x，y-b)，
∴

AB

•

BP

=-8x+b（y-b）=0  ①
由

BC

=

CP

，得（c，-b）=（x-c，y），
∴b=-y，
代入①并化簡得，y²=-4x；
（2）設(shè)l：y=kx-8k  ②，
把②代入y²=-4x，整理得
k²x²+（4-16k²）x+64k²=0，
由△=（4-16k²）²-256k⁴＞0，得
k2＜

1

8

．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

16k2-4

k2

，x1x2=64．
∴

QM

•

QN

=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=(k2+1)x1x2-(8k2-1)(x1+x2)+64k2+1
=64(k2+1)-(8k2-1)•

16k2-4

k2

+64k2+1=97，
解得：k=

1

4

．
不滿足k2＜

1

8

．
∴滿足條件的直線l不存在．

點(diǎn)評：本題考查了與直線有關(guān)的動點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求解參數(shù)問題，屬中高檔題．