Question

11．如圖1，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，沿EF將矩形BEFC折起，使∠CFD=90°，如圖2所示；
（Ⅰ）若G，H分別是AE，CF的中點，求證：GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）若AE=1，∠DCE=60°，求三棱錐C-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形中位線的性質(zhì)證得PG∥CH，PG=CH，從而得到四邊形CPGH為平行四邊形，得到GH∥PC．然后利用線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由已知解三角形得到CF⊥DF，進(jìn)一步求得EF=1，然后直接代入棱錐的體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點P，連結(jié)PG、PC，
∵G，H分別是AE，CF的中點，
∴CH∥BE，且CH=$\frac{1}{2}$BE，PG∥BE，且PG=$\frac{1}{2}$BE，
∴PG∥CH，PG=CH，
∴四邊形CPGH為平行四邊形，
∴GH∥PC．
又GH?平面ABCD，PC?平面ABCD，
∴GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：∵∠CFD=60°，∴CF⊥DF，
∵CF⊥EF，EF∩DF=F，
∴CF⊥平面ADEF，
又AE=EB，
∴CE=DE=$\sqrt{1+E{F}^{2}}$，且CF=DE=1，
∵∠DCE=60°，∴△DCE為等邊三角形，
而Rt△CDF中，CD=$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{1+E{F}^{2}}=\sqrt{2}$，
∴EF=1，
∴${V}_{C-DEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}EF•DF•CF=\frac{1}{6}$．
故三棱錐C-DEF的體積為$\frac{1}{6}$．

點評 本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及體積等基礎(chǔ)知識；考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，是中檔題．