Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E是A₁B₁的中點(diǎn)，則下列四個(gè)命題：
①點(diǎn)E到平面ABC₁D₁的距離是

1

2

；
②直線BC與平面ABC₁D₁所成角等于45°；
③空間四邊形ABCD₁在正方體六個(gè)面內(nèi)的射影的面積最小值為

1

2

；
④BE與CD₁所成角的正弦值為

10

10

．
其中真命題的編號(hào)是

 

（寫出所有真命題的編號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：EE到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離為

1

2

B₁C=

2

2

；BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁=45°；在四個(gè)面上的投影或?yàn)檎�方形或�(yàn)槿�角形．最小為三角形�?I>BE與CD₁所成的角即為BE與BA₁所成的角．

解答： 解：①E∈A₁B₁，A₁B₁∥面ABC₁D₁，?
∴E到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離為

1

2

B₁C=

2

2

．∴①不正確．?
②BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁=45°，∴②正確．?
③在四個(gè)面上的投影或?yàn)檎�方形或�(yàn)槿�角形�?br />最小為三角形，面積為

1

2

，∴③正確．?
④BE與CD₁所成的角即為BE與BA₁所成的角，
即∠A₁BE，A₁E=

1

2

，A₁B=2，BE=

5

2

，?
cos∠A₁BE=

3 10

10

．∴sin∠A₁BE=

10

10

．∴④正確．
故答案為：②③④．?

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．