Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A₁B=2．
（Ⅰ）證明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（Ⅱ）若點P為B₁C₁的中點，求三棱錐P-ABC與四棱錐P-AA₁B₁A₁的體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由已知可得A₁B⊥面ABC，進(jìn)而A₁B⊥AC，結(jié)合AB⊥AC和線面垂直的判定定理可得AC⊥面AB₁B，再由面面垂直的判定定理得到平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（Ⅱ）若點P為B₁C₁的中點，點P到平面AA₁B₁B距離h₂等于點C₁到平面AA₁B₁B的距離的一半，求出底面積，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）∵頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B，
∴A₁B⊥面ABC，
又∵AC?面ABC，
∴A₁B⊥AC，------（2分）
又AB⊥AC，AB∩A₁B=B，AB，A₁B?面AB₁B，
∴AC⊥面AB₁B，------（3分）
∵AC?面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁B；------（5分）
（Ⅱ）在三棱錐P-ABC中，因為AB⊥AC，
所以底面ABC是等腰直角三角形，
又因為點P到底面的距離h=A₁B=2，
所以VP-ABC=

1

3

S△ABC•h=

1

3

•

1

2

AC•AB•h=

4

3

．------（6分）
由（Ⅰ）可知AC⊥面AB₁B，
因為點P在B₁C₁的中點，
所以點P到平面AA₁B₁B距離h₂等于點C₁到平面AA₁B₁B的距離的一半，即h₂=1．------（8分）
VP-AA1B1B=

1

3

S四邊形AA1B1B•h2=

1

3

AB•A1B•h2=

1

3

•2•2•1=

4

3

，------（10分）
所以三棱錐P-ABC與四棱錐P-AA₁B₁A₁的體積之比為1：1．------（12分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，難度中檔．