Question

已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
（1）實數(shù)a的取值范圍以及直線l方程
（2）若弦AB=2

7

，求圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用配方法得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求出a的取值范圍．
（2）求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦AB=2

7

，求出圓的半徑，即可得到圓的方程．

解答： 解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=5-a，
則圓心C（-1，2），半徑r=

5-a

，
∵弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
∴點(diǎn)M在圓內(nèi)部，即

12+(1-2)2

＜

5-a

，
即

2

＜

5-a

，
∴5-a＞2，即a＜3．
∵弦的中點(diǎn)為M（0，1）．
∴直線CM的斜率k=

2-1

-1-0

=-1，
則直線l的斜率k=1，
則直線l的方程為y-1=x，即x-y+1=0．
（2）圓心C到直線x-y+1=0的距離d=

|-1-2+1|

2

=

2

2

=

2

，
若弦AB=2

7

，
則d 2+(

AB

2

)2=r2，
即2+7=5-a=9，
解得a=-4，此時半徑r=3，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=9．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，利用配方法將圓配成標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵．