Question

已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1）．
（1）實數a的取值范圍以及直線l方程
（2）若弦AB=2

7

，求圓的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用配方法得到圓的標準方程，根據直線，點與圓的位置關系即可求出a的取值范圍．
（2）求出圓心到直線的距離，根據弦AB=2

7

，求出圓的半徑，即可得到圓的方程．

解答： 解：（1）圓的標準方程為（x+1）²+（y-2）²=5-a，
則圓心C（-1，2），半徑r=

5-a

，
∵弦AB的中點為M（0，1）．
∴點M在圓內部，即

12+(1-2)2

＜

5-a

，
即

2

＜

5-a

，
∴5-a＞2，即a＜3．
∵弦的中點為M（0，1）．
∴直線CM的斜率k=

2-1

-1-0

=-1，
則直線l的斜率k=1，
則直線l的方程為y-1=x，即x-y+1=0．
（2）圓心C到直線x-y+1=0的距離d=

|-1-2+1|

2

=

2

2

=

2

，
若弦AB=2

7

，
則d 2+(

AB

2

)2=r2，
即2+7=5-a=9，
解得a=-4，此時半徑r=3，
∴圓的標準方程為（x+1）²+（y-2）²=9．

點評：本題主要考查直線和圓的方程的應用，利用配方法將圓配成標準方程是解決本題的關鍵．