Question

三棱錐P-ABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)．
（1）證明：平面GFE∥平面PCB；
（2）求二面角B-AP-C的正切值；
（3）求直線PF與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出EF∥BC，GF∥CP，從而得到EF∥平面PCB，GF∥平面PCB，由此能證明平面GFE∥平面PCB．
（2）過(guò)點(diǎn)C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H，連接HB，由已知條件推導(dǎo)出∠BHC是二面角B-AP-C的平面角，由此能求出二面角B-AP-C的正切值．
（3）設(shè)PB的中點(diǎn)為K，連接KC，AK，由已知條件推導(dǎo)出KC⊥PB，AK⊥PB，從而得到平面AKC⊥平面PAB．在平面AKC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AK，垂足為M，則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角，由此能求出直線PF與平面PAB所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：因?yàn)镋、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)，
所以EF∥BC，GF∥CP．
因?yàn)镋F?平面PCB，GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，所以平面GFE∥平面PCB．
（2）解：過(guò)點(diǎn)C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H，連接HB．
因?yàn)锽C⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．
因?yàn)锽C=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)．
所以CH=

2

5

，所以tan∠BHC=

1

2 5

=

5

2

，
所以二面角B-AP-C的正切值是

5

2

．
（3）解：如圖，設(shè)PB的中點(diǎn)為K，連接KC，AK，
因?yàn)椤鱌CB為等腰直角三角形，所以KC⊥PB，
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，
所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，
又因?yàn)锳K∩KC=K，所以PB⊥平面AKC，
又PB?平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB．
在平面AKC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AK，垂足為M．
因?yàn)槠矫鍭KC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，連接PM，
則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角．
由題意PF=

2

，F(xiàn)M=

1

3

，所以sin∠MPF=

1 3

2

=

2

6

．
即直線PF與平面PAB所成的角的正弦值是

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．