Question

已知y=f（x）為定義在R上不恒為0的函數(shù)，且對任意的a，b∈R都有f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）、f（1）、f（-1）的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令a=b=0，可求出f（0），令a=b=1，可求出f（1），令a=b=-1，可求出f（-1）；
（2）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，首先考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，其次令a=-1，b=x，代入并注意f（-1）=0即可判斷．

解答： 解：（1）令a=b=0，則f（0）=0，
令a=b=1，則f（1）=f（1）+f（1）即f（1）=0，
令a=b=-1，則f（1）=-2f（-1）=0，即f（-1）=0，
故f（0）=0，f（1）=0，f（-1）=0；
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，理由如下：
∵f（x）的定義域?yàn)镽，
令a=-1，b=x，則f（-x）=-f（x）+xf（-1），
由（1）得，f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用，注意定義的運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是解題的關(guān)鍵．