如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是邊長為2的等邊三角形,PB=PD=
6
,AP=4AF.
(1)求證:平面PAC⊥平面ABCD;
(2)如果在線段PB上有一點M,且BM=
1
3
BP,求二面角M-DF-B的余弦值.
考點:與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)由已知條件得PO⊥AC,PO⊥BD,從而得到PO⊥底面ABCD,由此能證明平面PAC⊥平面ABCD.
(2)由菱形性質(zhì)得AC⊥BD,以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O-xyz,利用向量法能求出二面角M-DF-B的余弦值.
解答: (1)證明:∵底面ABCD是菱形,AC∩BD=O,
∴O為AC,BD中點,又∵PA=PC,PB=PD,
∴PO⊥AC,PO⊥BD,
∴PO⊥底面ABCD,
又PO?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABCD.
(2)解:由底面ABCD是菱形,得AC⊥BD,
又由(1)知PO⊥AC,PO⊥BD.
如圖以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O-xyz,
由△PAC是邊長為2的等邊三角形,
PO=
3
,PB=PD=
6
,BO=OD=
3
,
∴A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,
3
,0),
P(0,0,
3
),∴
OB
=(0,
3
,0)

CP
=(1,0,
3
)
,
AP
=(-1,0,
3
)
,
由已知得
OF
=
OA
+
1
4
AP
=(
3
4
,0,
3
4
)
,
設(shè)平面BDF的法向量
n
=(x,y,z)
,
n
OB
=
3
y =0
n
OF
=
3
4
x+
3
4
z=0

取x=1,得
n
=(1,0,-
3
),
M(0,
2
3
3
3
3
),
DM
=(0,
5
3
3
,
3
3
),
DF
=(
3
4
,
3
3
4
)
,
設(shè)平面MDF的法向量
m
=(a,b,c)

m
DM
=
5
3
3
a+
3
3
c=0
m
DF
=
3
4
a+
3
b+
3
4
c=0
,
取b=-1,得
m
=(-
3
3
,-1,5)

設(shè)二面角M-DF-B的平面角為θ,
則cosθ=cos<
n
m
>=
-
3
3
+5
3
4
1
3
+26
=
8
79
79
,
∴二面角M-DF-B的余弦值為
8
79
79
點評:本題考查平面與平面垂直的證明,考查二面角和余弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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6
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(Ⅰ)求證:PA∥平面EDB;
(Ⅱ)求二面角F-DE-B的正弦值.

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