Question

17．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為10π．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（5α+$\frac{5}{3}$π）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5}{6}$π）=$\frac{16}{17}$，求sinα，cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，由于已經(jīng)知道函數(shù)的周期，可直接利用公式ω=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$解出參數(shù)ω的值；
（2）由題設(shè)條件，可先對f（5α+$\frac{5}{3}$π）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5}{6}$π）=$\frac{16}{17}$，進行化簡，即可求sinα，cosβ的值．

解答 解：（1）由題意，函數(shù)f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為10π
所以ω=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$，即ω=$\frac{1}{5}$；
（2）因為α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（5α+$\frac{5}{3}$π）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5}{6}$π）=$\frac{16}{17}$，
分別代入得2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{6}{5}$，所以sinα=$\frac{3}{5}$；
2cosβ=$\frac{16}{17}$，所以cosβ=$\frac{8}{17}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的周期公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于三角函數(shù)中有一定綜合性的題，屬于中檔題．