Question

13．已知函數(shù)f（x）=|cosx|•sinx，給出下列四個(gè)說法，其中正確說法是（　�。�

• A． 若|f（x₁）|=|f（x₂）|，則x₁=x₂+kπ（k∈Z）
• B． f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增
• C． 函數(shù)f（x）的周期為π
• D． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{2}，0）$成中心對(duì)稱

Answer 1

分析 若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|$\frac{1}{2}$sin2x₁|=|$\frac{1}{2}$sin2x₂|，列舉反例x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$時(shí)也成立；由二倍角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；根據(jù)函數(shù)周期性的定義判斷；由函數(shù)f（x）=|cosx|•sinx，可得函數(shù)是奇函數(shù)．

解答 解：若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|$\frac{1}{2}$sin2x₁|=|$\frac{1}{2}$sin2x₂|，則x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$時(shí)也成立，故A不正確；
在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，f（x）=|cosx|•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，單調(diào)遞增，故B正確；
∵f（π+x）=|cos（π+x）|•sin（π+x）=|-cosx|•（-sinx）=-f（x）≠f（x），∴函數(shù)f（x）的周期不是π，故C不正確；
∵函數(shù)f（x）=|cosx|•sinx，∴函數(shù)是奇函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）成中心對(duì)稱，而f（x$+\frac{π}{2}$）=|cos（x+$\frac{π}{2}$）|•sin（x+$\frac{π}{2}$）=|sinx|•cosx
≠f（x），∴點(diǎn)（-$\frac{π}{2}$，0）不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故D不正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假性判斷，以及三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．