Question

已知函數(shù)f(x)=cosx(

3

cosx-sinx)-

3

2

．求：
（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的對稱軸方程；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換，可求得f（x）=-sin（2x-

π

3

），利用正弦函數(shù)的對稱性可求得函數(shù)y=f（x）的對稱軸方程；
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

⇒2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]⇒-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，從而可求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值．

解答： （Ⅰ）f（x）=

3

cos²x-sinxcosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

-

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x
=-sin（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），
解得x=

kπ

2

+

5π

12

（k∈Z），
故y=f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

5π

12

（k∈Z）．
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

⇒2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴-1≤-sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，
∴y_min=-1，y_max=

3

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查正弦函數(shù)的對稱性與單調性，考查運算求解能力，屬于中檔題．