Question

已知中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線C，一條漸近線方程為x-2y=0，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A（2

2

，1）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)雙曲線C的兩個焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)P（0，t）作雙曲線C切線，切點(diǎn)為M，若△F₁MF₂的面積為

5

2

，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0，可設(shè)雙曲線C的方程x²-4y²=λ，代入點(diǎn)A（2

2

，1），可得雙曲線C的方程；
（2）利用△F₁MF₂的面積為

5

2

，求出M的坐標(biāo)，求導(dǎo)數(shù)，得到切線的向量，即可求實(shí)數(shù)t的值．

解答： 解：（1）∵雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0，
∴可設(shè)雙曲線C的方程x²-4y²=λ，
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A（2

2

，1），
∴8-4=λ，
∴λ=4，
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-y2=1；
（2）雙曲線C的兩個焦點(diǎn)分別為F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），∴|F₁F₂|=2

5

．
設(shè)M（x，y），則∵△F₁MF₂的面積為

5

2

，
∴

1

2

•2

5

•|y|=

5

2

，
∴|y|=

1

2

，
∴|x|=

5

，
取點(diǎn)M（

5

，

1

2

），則PM的方程為y=

1 2 -t

5

x+t，
由

x2

4

-y2=1，可得y=

x2 4 -1

，∴y′=

x

4 x2 4 -1

，
x=

5

時(shí)，y′=

5

2

，
∴

1 2 -t

5

=

5

2

，
∴t=-2，
同理，根據(jù)對稱性，可得t=2．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查雙曲線的切線，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．