Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

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AB．直角梯形ACEF中，EF

∥ .

.

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AC，∠FAC是銳角，且平面ACEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）試判斷直線DF與平面BCE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)H，連結(jié)CH，先證明出四邊形AHCD為平行四邊形，推斷出AD=HC=

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AB，證明出BC⊥AC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出BC⊥平面ACEF，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出BC⊥AF． 
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)M，連接DM，F(xiàn)M，先證明出FM∥EC，根據(jù)面面平行的判定定理推斷出平面BCE∥平面DMF，進(jìn)而根據(jù)面面平行的性質(zhì)推斷出DF∥平面BCE．

解答： （Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)H，連結(jié)CH，
∵底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

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AB，
∴CD=AH，CD∥AH，
∴四邊形AHCD為平行四邊形，
∴AD=HC=

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AB，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACEF，
而AF?平面ACEF，
故BC⊥AF． 
（Ⅱ）DF∥平面BCE，以下證明：
取AC的中點(diǎn)M，連接DM，F(xiàn)M．
∵在平面ABCD中，DM⊥AC，BC⊥AC，
∴DM∥BC．           
∵在直角梯形ACEF中，EF

∥ .

.

CM，
∴FM∥EC．                                         
∵BC，CE?平面BCE，BC∩CE=C，DM，MF?平面DMF，DM∩MF=M，
∴平面BCE∥平面DMF，DF?平面DMF，
∴DF∥平面BCE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)以及線面垂直的判定定理及性質(zhì)的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的能力．