Question

已知圓C的圓心為C（2，4）且與直線3x-4y=0相切，直線l過原點(diǎn)且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，P為AB中點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）若三角形ABC為直角三角形，求直線l的方程；
（3）過點(diǎn)（0，-1）是否存在定直線q交直線l于點(diǎn)Q，且滿足|

OP

|•|

OQ

|=4，若存在，求出直線q的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）知道與直線相切，即可利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，可得圓C的方程；
（2）根據(jù)A，B在圓上，可得三角形ABC是等腰直角三角形．設(shè)直線方程為kx-y=0（k＞0），則由三角形可知點(diǎn)到直線距離為

2

2

，即可得出結(jié)論；
（3）求出P，Q的坐標(biāo)，利用|

OP

|•|

OQ

|=4，可得

1+2k

|k′-k|

=2，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵圓C的圓心為C（2，4）且與直線3x-4y=0相切，
∴r=

|6-16|

32+42

=2，
∴圓的方程為（x-2）²+（y-4）²=4；
（2）∵A，B在圓上，∴三角形ABC是等腰直角三角形．
設(shè)直線方程為kx-y=0（k＞0），則由三角形可知點(diǎn)到直線距離為

2

2

，
代入距離公式得到

|2k-4|

k2+1

=

2

2

，解得k=1或k=7，
∴直線l的方程為x-y=0或7x-y=0；
（3）由題可設(shè)直線q的方程為y=k′x-1．
y=kx代入（x-2）²+（y-4）²=4，可得（k²+1）x²-4（1+2k）x+16=0，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4(1+2k)

k2+1

，x₁x₂=

16

k2+1

∵P為AB中點(diǎn)，∴P（

2(1+2k)

k2+1

，

2k(1+2k)

k2+1

）
由

y=kx y=k′x-1

，可得Q（

1

k′-k

，

k

k′-k

），
∵|

OP

|•|

OQ

|=4，∴

1+2k

|k′-k|

=2，
∴1+2k=2|k′-k|，
∴1+2k=2k′-2k，或1+2k=-2k′+2k，
∴k′=-

1

2

時滿足題意，此時直線q的方程為y=-

1

2

x-1．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與圓，直線與直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．