Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-x），$\overrightarrow$=（x+2，x）（x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求x的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|．
（3）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，且x＜0，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，求△ABC的邊長AC的長度．

Answer 1

分析 （1）直接由向量垂直的坐標(biāo)表示列式求得x值；
（2）由向量共線的坐標(biāo)表示列式求得x值，得到$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標(biāo)，再由向量模的計算公式得答案；
（3）由題意求出$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角，進(jìn)一步得到∠ABC，然后由余弦定理求得△ABC的邊長AC的長度．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，故x+2-x²=0，解得x=-1或x=2；
（2）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-x-1，-2x），
∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，∴-x（x+2）-x=0，解得x=0或x=-3．
當(dāng)x=0時，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（-1，0），|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{{{（{-1}）}^2}+{0^2}}=1$．
當(dāng)x=-3時，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（2，6），|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{{2^2}+{6^2}}=2\sqrt{10}$．
綜上，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|為1或2；
（3）由（1）知：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（0，2），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$=（1，1），
令$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為θ，∴cosθ=$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{BC}}|}}$=$\frac{1×2}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又0≤θ≤π，∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴∠ABC=π-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，又$|{\overrightarrow{AB}}|=2，|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{2}$，
∴${|{AC}|^2}={2^2}+{（{\sqrt{2}}）^2}-2×2×\sqrt{2}×cos\frac{3π}{4}=10$，$|{AC}|=\sqrt{10}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量共線和垂直的坐標(biāo)表示，訓(xùn)練了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．