Question

（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)

（I）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若對任意恒成立，求實數(shù)的最小值；

（III）設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同兩點，線段AB中點為C，直線AB的斜率為k.證明：.

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為; （Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：(I)將代入函數(shù)解析式，可得根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出的單調(diào)遞增，遞減區(qū)間． (Ⅱ)由題意知：，在時恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又，利用分離參數(shù)法，可得 在區(qū)間上恒成立．構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果；(Ⅲ) 由于，又，所以 ，即證，不妨設(shè)，即證：，即證：，設(shè)，即證：，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)果.

試題解析：(I)當(dāng)時，

當(dāng)時，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，單調(diào)遞增，

綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

(Ⅱ)由題意知：，在時恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

又， 在區(qū)間上恒成立．

設(shè)，，

又令，則

當(dāng)時，單調(diào)遞減，

，即在區(qū)間恒成立，

所以在區(qū)間單調(diào)遞增，，

故．

(Ⅲ)證明：又

所以 ，即證

不妨設(shè)，即證：，

即證：，設(shè)，即證：，

也就是要證：，其中

事實上：設(shè)，

則

所以在單調(diào)遞增，因此，即結(jié)論成立．

考點：1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；2. 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的應(yīng)用；3. 導(dǎo)數(shù)證明不等式中的應(yīng)用.