Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|
（1）當a=-3時，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-3時，利用絕對值的意義求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）題目等價于f（x）≤|x-4|在[0，2]上恒成立，即|x+a|≤2在[0，2]上恒成立，即-2-x≤a≤2-x在[0，2]上恒成立，由此可得a的范圍．

解答 解：（1）當a=-3時，求不等式f（x）≥3，即|x-3|+|x-2|≥3，
|x+a|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到2、3對應(yīng)點的距離之和，
而1和4對應(yīng)點到2、3對應(yīng)點的距離之和正好等于3，故|x-3|+|x-2|≥3的解集為{x|x≤1，或x≥4}．
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，等價于f（x）≤|x-4|在[0，2]上恒成立，
即|x+a|≤4-x-|x-2|在[0，2]上恒成立，即|x+a|+2-x≤4-x在[0，2]上恒成立．
即|x+a|≤2在[0，2]上恒成立，即-2≤x+a≤2在[0，2]上恒成立，
即-2-x≤a≤2-x在[0，2]上恒成立，∴-2≤a≤0．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．