Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過(guò)A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三點(diǎn)，M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，l₁，l₂是過(guò)點(diǎn)B（1，0）且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)₁交y軸于點(diǎn)E，l₂交圓C于P、Q兩點(diǎn)．
（1）若t=|PQ|=6，求直線l₂的方程；
（2）若t是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整數(shù)，求三角形EPQ的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)直線l₂的方程y=k（x-1），利用PQ=6，可得圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{10-9}$，即可求直線l₂的方程；
（2）設(shè)M（x，y），由點(diǎn)M在線段AD上，得2x+ty-2t=0，由AM≤2BM，得（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$，依題意，線段AD與圓（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²=$\frac{20}{9}$至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故$\frac{{|{\frac{8}{3}-\frac{8}{3}t}|}}{{\sqrt{4+{t^2}}}}≥\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，由此入手能求出△EPQ的面積的最小值．

解答 解：（1）由題意，圓心坐標(biāo)為（3，1），半徑為$\sqrt{10}$，則
設(shè)直線l₂的方程y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{10-9}$，
∴k=0或$\frac{4}{3}$，（3分）
當(dāng)k=0時(shí)，直線l₁與y軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，舍去．
∴k=$\frac{4}{3}$時(shí)直線l₂的方程為4x-3y-4=0．（6分）
（2）設(shè)M（x，y），由點(diǎn)M在線段AD上，得$\frac{x}{t}+\frac{y}{2}=1$，2x+ty-2t=0．
由AM≤2BM，得（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$．（8分）
依題意知，線段AD與圓（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²=$\frac{20}{9}$至多有一個(gè)公共點(diǎn)，
故$\frac{{|{\frac{8}{3}-\frac{8}{3}t}|}}{{\sqrt{4+{t^2}}}}≥\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，解得$t≤\frac{{16-10\sqrt{3}}}{11}$或t≥$\frac{16+10\sqrt{3}}{11}$．
因?yàn)閠是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù)，所以t=4．
所以圓圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
①當(dāng)直線l₂：x=1時(shí)，直線l₁的方程為y=0，此時(shí)，S_DEPQ=2；（10分）
②當(dāng)直線l₂的斜率存在時(shí)，設(shè)l₂的方程為y=k（x-1），k≠0，
則l₁的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1），點(diǎn)E（0，$\frac{1}{k}$），∴BE=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
又圓心到l₂的距離為$\frac{|k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴PQ=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-2k+4}{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△EPQ=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-2k+4}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{4（\frac{1}{k}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{4}}$≥$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
∵$\frac{\sqrt{15}}{2}$＜2，
∴（S_△EPQ）_min=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查三角形面積的最小值的求法，確定三角形面積是關(guān)鍵．