Question

1．已知焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的兩個焦點，若橢圓上的點到焦點距離的最大值與最小值的差為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）經(jīng)過右焦點F₂的直線l與橢圓相交于A、B兩點，且$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓上的點到焦點距離的最大值與最小值的差為2，可得（a+c）-（a-c）=2，解得c．進而得出b²=a²-c²．
（2）設直線l的方程為my=x-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（3m²+4）y²+6my-9=0．由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，可得y₁+2y₂=0，與根與系數(shù)的關系聯(lián)立解出即可．

解答 解：（1）∵橢圓上的點到焦點距離的最大值與最小值的差為2，
∴（a+c）-（a-c）=2，解得c=1．
∴b²=a²-c²=4-1=3．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設直線l的方程為my=x-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．（*）
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，
∴y₁+2y₂=0，
與（*）聯(lián)立可得：y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
y₁=$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$，
∴$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$×$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
化為m²=$\frac{4}{5}$，
解得m=$±\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x-1）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、“直線與橢圓相交問題、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．