Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a+3）x+3alnx，（a∈R）．
（1）若f（x）的圖象在x=1處的切線為l：y=b，求a，b的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于定義在正實數(shù)集R⁺上的函數(shù)S（x），T（x），若對任意x₂＞x₁＞0，均有S（x₂）-S（x₁）＞k[T（x₂）-T（x₁）]，（k∈R⁺），則稱函數(shù)S（x）是T（x）的“超k倍速”函數(shù)，已知函數(shù)f（x）是g（x）=-x，（x∈R⁺）的“超3倍速”函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時的導數(shù)值，由導數(shù)值等于0求得a的值；
（2）利用題目給出的新定義，得到對?x₂＞x₁＞0有f（x₂）-f（x₁）＞3（x₁-x₂），即f（x₂）+3x₂＞
f（x₁）+3x₁，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+3x，問題轉(zhuǎn)化為g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，也就是g′（x）≥0
在（0，+∞）上恒成立，然后分類分析，求出導函數(shù)的最小值，由最小值大于等于0求得a的范圍．

解答： 解：由f（x）=

1

2

x²-（a+3）x+3alnx，
得：f′(x)=x-(a+3)+

3a

x

，
∵若f（x）的圖象在x=1處的切線為l：y=b，
∴f′（1）=2a-2=0，解得a=1．
∴b=f（1）=-

7

2

．
于是，f′(x)=x-4+

3

x

=

(x-3)(x-1)

x

 （x＞0）．
則x∈（0，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0，
x∈（1，3）時，f′（x）＜0．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（3，+∞），
單調(diào)減區(qū)間是（1，3）； 
（2）∵f（x）是g（x）的“超3倍速函數(shù)”
∴對?x₂＞x₁＞0有f（x₂）-f（x₁）＞3（x₁-x₂），
即f（x₂）+3x₂＞f（x₁）+3x₁，
也就是g（x）=f（x）+3x在（0，+∞）上是增函數(shù)，
由于g′（x）=x-a+

3a

x

，
于是對?x＞0，g′（x）≥0恒成立．
令h（x）=g′（x）=x-a+

3a

x

①當a＜0時，顯然h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
且x→0，h（x）→-∞，不合題意；
②當a=0時，
對?x＞0，h（x）=x＞0符合題意；
③當a＞0時，
h（x）=x+

3a

x

-a≥2

3a

-a（當且僅當x=

3a

時等號成立）．
∴2

3a

-a≥0，
得0＜a≤12．
綜上得a的取值范圍是：0≤a≤12．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．