Question

已知OPQ是半徑為1，圓心角為2θ（θ為定值）的扇形，A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD是扇形內(nèi)的內(nèi)接矩形，記∠AOP=α（0＜α＜θ）．
（1）用α表示矩形ABCD的面積S；
（2）若θ=

π

6

，求當(dāng)α取何值時(shí)，矩形面積S最大？并求出這個(gè)最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,弧度制的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得△COD為等邊三角形，求得AB，在△OAB中，利用正弦定理求得AD．可得矩形ABCD的面積S=f（α）．
（2）由（1）可得S=f（α）．再由 0＜α＜

π

6

，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得S=f（α）的最大值．

解答： 解：（1）由題意可得AD∥OE∥CB，
∴∠POE=∠PDA=θ，∴∠ODC=

π

2

-θ=∠DCO，∠BOA=2θ-2α，△COD為等腰三角形．
故AB=2sin（θ-α），
再由∠ADO=

π

2

+

π

2

-θ=π-θ，
△OAD中，利用正弦定理可得

AD

sinα

=

0A

sin(π-θ)

，
化簡(jiǎn)可得AD=

sinα

sinθ

．
故矩形ABCD的面積S=f（α）=AB•AD=

2sin(θ-α)sinα

sinθ

．
（2）θ=

π

6

，由（1）可得S=f（α）=

2sin( π 6 -α)sinα

sin π 6

=2sinαcosα-2

3

sin²α=sin2α+

3

cos2α-

3

=2（

1

2

sin2α+

3

2

cos2α）-

3

=2sin（2α+

π

3

）-

3

．
再由 0＜α＜

π

6

可得

π

3

＜2α+

π

3

＜

2π

3

，
故當(dāng) 2α+

π

3

=

π

2

，即當(dāng)α=

π

12

時(shí)，S=f（α）取得最大值為2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系、兩角和差的三角公式、正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．