Question

在直角梯形中ABCD中．AB∥CD，AB⊥BC，F(xiàn)為AB上的點(diǎn)，且BE=1，AD=AE=DC=2，將△ADE沿DE折疊到P點(diǎn)，使PC=PB．
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)G，DE中點(diǎn)H，連結(jié)PG，GH，HP，由已知條件推導(dǎo)出BC⊥平面PGH，所以PH⊥BC，PH⊥DE，由此能證明平面PDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以HA，HE，HP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)G，DE中點(diǎn)H，連結(jié)PG，GH，HP，
∵HG∥AB，AB⊥BC，∴HG⊥BC，
又∵PB=PC，∴PG⊥BC，
∴BC⊥平面PGH，∴PH⊥BC，
∵PD=PE，H為DE中點(diǎn)，PH⊥DE，
BC與DE不平行，∴PH⊥平面ABCD，
∵PH?平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：以HA，HE，HP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
H（0，0，0），A（

3

，0，0），E（0，1，0），
P（0，0，

3

），D（0，-1，0），
設(shè)平面PAD的法向量

n

=（x，y，z），
∵

DA

=(

3

，1，0)，

DP

=(0，1，

3

)，
∴

n • DA = 3 x+y=0 n • DP =y+ 3 z=0

，取x=1，得

n

=(1，-

3

，1)，
又平面DPE的法向量

m

=(1，0，0)，
∵cos＜

m

，

n

＞=

1

5

=

5

5

．
∴二面角A-PD-E的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．