Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點A、B和C、D；拋物線上的點T（2，t）（t＞0）到焦點的距離為3．
（1）求p、t的值；
（2）當四邊形ACBD的面積取得最小值時，求直線AB的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的定義求出p、代入點的坐標代入拋物線方程求出t的值；
（2）利用拋物線方程求出AB的距離CD的距離，表示出四邊形ACBD的面積，利用基本不等式求出面積的最小值，并且求出直線AB的斜率．

解答： 解：（1）有拋物線的定義可知點T（2，t），（t＞0）到拋物線的準線的距離為3，
即有2+

p

2

=3可得P=2，將T（2，t）代入y²=4x
得t=2

2

．
（2）∵F（1，0），故設直線AB的方程為：x=my+1（m＜0），
聯(lián)立拋物線方程y²=4x，消元可得：y²-4my-4=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由拋物線的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=m（y₁+y₂）+4=4m•m+4=4（m²+1）．
∵CD⊥AB，∴CD直線的方程為：x=-

1

m

y+1，
同理|CD|=4[（-

1

m

）²+1]
從而S_{四邊形ABCD}=

1

2

|AB||CD|=

1

2

•16•(m2+1)(

1

m2

+1)
=8(2+m2+

1

m2

)≥8(2+2

m2• 1 m2

)
=32．（當m=-1時取等號）．
因此四邊形ABCD的面積的最小值為32，此時直線AB的斜率為-1．

點評：本題主要考查了拋物線方程的求法，拋物線的定義域的應用，直線與拋物線的位置關系，弦長公式的應用，四邊形面積的求法以及基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．