Question

已知函數(shù)f（x）=ln（

x2+1

-x）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（4）解不等式f（x）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得

x2+1

-x＞0，解得x的范圍，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br />（2）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=ln（

x2+1

+x）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）令h（x）=

x2+1

-x，則f（x）=lnh（x）．根據(jù)h（x）的單調(diào)性可得f（x）的單調(diào)性．
（4）根據(jù)f（x）＜0，f（x）在定義域R上是減函數(shù)，求得x的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（

x2+1

-x），
∴

x2+1

-x＞0，解得x∈R，
故函數(shù)的定義域?yàn)镽．
（2）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=ln（

x2+1

+x）
=ln（

1

x2+1 -x

）=-ln（

x2+1

-x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）令h（x）=

x2+1

-x，則f（x）=lnh（x）．
由于h（x）=

x2+1

-x=

1

x2+1 +x

 在[0，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）=lnh（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）=lnh（x）在（-∞，0））上也是減函數(shù)．
再根據(jù)f（0）=0，可得f（x）在定義域R上是減函數(shù)．
（4）∵f（x）＜0，f（x）在定義域R上是減函數(shù)，
∴x＞0，
故不等式的解集為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．