Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2ax-3
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）＜0的解集為全體實(shí)數(shù)R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥0，即（x-1）（x+3）≥0，由此求得不等式的解集．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，不等式即-3＜0，滿足條件；當(dāng)a＞0時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得不滿足條件；當(dāng)a＜0時(shí)，再根據(jù)判別式△=4a²+12a＜0，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥0，即 x²+2x-3≥0，即（x-1）（x+3）≥0，
解得 x≤-3，或x≥1，故不等式的解集為{x|x≤-3，或x≥1 }．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，不等式即-3＜0，滿足不等式f（x）＜0的解集為全體實(shí)數(shù)R．
當(dāng)a＞0時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得不滿足不等式f（x）＜0的解集為全體實(shí)數(shù)R．
當(dāng)a＜0時(shí)，再根據(jù)判別式△=4a²+12a＜0，求得-3＜a＜0．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （-3，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．