【題目】已知函數(shù).

（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設，是否存在實數(shù)，對任意，，，有恒成立？若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析（2）存在，.

【解析】

（1）先求導，再討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）先假設存在實數(shù)，，所以可設，由此能得到：，根據(jù)單調(diào)性的定義，令，要使函數(shù)在上是增函數(shù)，只要函數(shù)在上的導數(shù)值大于等于即可，繼而求出的范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，

，

①若，則，，且只在時取等號，∴在上單調(diào)遞增；

②若，則，而，∴，當時，；當及時，，所以在上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增；

③若，則，同理可得:在上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增；

綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增；

（2），

假設存在，對任意，，，有恒成立，

不妨設，要使恒成立，即必有，

令，即，

，

要使在上為增函數(shù)，

只要在上恒成立，須有，，故存在時，對任意，，，有恒成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，直線與函數(shù)的圖象在處相切，設，若在區(qū)間[1，2]上，不等式恒成立．則實數(shù)m（ ）

A. 有最大值 B. 有最大值e C. 有最小值e D. 有最小值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某書店今年5月上架10種新書，且它們的首月銷量（單位：冊）情況為：100，50，100，150，150，100，150，50，100，100，頻率為概率，解答以下問題：

（1）若該書店打算6月上架某種新書，估計它首月銷量至少為100冊的概率；

（2）若某種最新出版的圖書訂購價為10元/冊，該書店計劃首月內(nèi)按12元/冊出售，第二個月起按8元/冊降價出售，降價后全部存貨可以售出.試確定，該書店訂購該圖書50冊，100冊，還是150冊有利于獲得更多利潤？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，，離心率是，直線與橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；

（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，是拋物線的焦點，過點且與坐標軸不垂直的直線交拋物線于、兩點，交拋物線的準線于點，其中，．過點作軸的垂線交拋物線于點，直線交拋物線于點.

（1）求的值；

（2）求四邊形的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，，其中為正實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)，使得對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，，使得成立？若存在，求出正實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，幾何體中，，均為邊長為2的正三角形，且平面平面，四邊形為正方形.

（1）若平面平面，求證:平面平面；

（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

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