Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-x+1）-m，若?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，1）
• B、（1，

  3

  e

  ）
• C、（1，e³）
• D、（-∞，1）∪（e³，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極大值為

3

e

，極小值為1，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有3個交點，數(shù)形結(jié)合，從而求得m的范圍．

解答： 解：因為f′（x）=（x²-x+1）•e^x+（2x-1）•e^x
=x（x+1）•e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞0，或x＜-1；由f′（x）＜0
⇒-1＜x＜0，
所以f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上單調(diào)遞增，
在（-1，0）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的極大值為f（-1）=

3

e

，極小值為f（0）=1．
由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有3個交點，
如圖所示：
故有 1＜m＜

3

e

，
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．