Question

以下命題中：
①“直線l與曲線C相切”是“直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充要條件；
②“若兩直線l₁⊥l₂，則它們的斜率之積等于-1”的逆命題；
③“在平面內(nèi)，到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線”的逆否命題；
④“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f（x，y）=0的解”是“f（x，y）=0是曲線C的方程”的必要不充分條件．
其中真命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題

分析：①可以通過舉例說明充分性與必要性是否成立；
②寫出命題的逆命題并判定真假；
③說明點(diǎn)（2，1）在直線3x+4y-10=0上，不滿足拋物線的定義；
④根據(jù)曲線方程的定義判定命題的真假．

解答： 解：①當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，直線l與曲線C的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè)，∴充分性不成立，
當(dāng)直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l與曲線C不一定相切，
如直線x=0與曲線y=x²的交點(diǎn)是（0，0），過該點(diǎn)的切線不是x=0；∴必要性不成立；
∴命題①錯(cuò)誤；
②“若兩直線l₁⊥l₂，則它們的斜率之積等于-1”的逆命題是
“若兩直線l₁與l₂的斜率之積等于-1，則l₁⊥l₂”，是真命題；
③在平面內(nèi)，點(diǎn)（2，1）在直線3x+4y-10=0上，
∴到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線；
∴命題③的逆否命題是假命題；
④當(dāng)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f（x，y）=0的解時(shí)，f（x，y）=0不一定是曲線C的方程，∴充分性不成立；
當(dāng)f（x，y）=0是曲線C的方程時(shí)，滿足曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f（x，y）=0的解，∴必要性成立；
∴命題④是真命題；
所以，以上真命題的序號(hào)是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題通過命題真假的判定考查了直線與曲線相切、兩條直線垂直以及拋物線的定義和曲線的方程與方程的曲線等問題，是綜合題目．