Question

給出下列5個(gè)命題：
①函數(shù)y=log₂（sinx+cosx）的值域?yàn)?span id="k27qwpn" class="MathJye">(-∞，-

1

2

]；
②函數(shù)f(x)=

3

sinx+cosx的圖象可以由函數(shù)g（x）=2sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位得到；
③已知角α，β，γ構(gòu)成公差為

π

3

的等差數(shù)列，若cosβ=

1

3

，則cosα+cosγ=-

1

3

；
④函數(shù)h（x）=3^x|log₂x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
⑤若△ABC的三邊a，b，c滿足aⁿ+bⁿ=cⁿ（n≥3，n∈N^*），則△ABC必為銳角三角形．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由于函數(shù)y=log₂（sinx+cosx）=log2

2

sin(x+

π

4

)，由0＜

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
②由函數(shù)f(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)和平移變換即可判斷出；
③由cosα+cosγ=cos(β-

π

3

)+cos(β+

π

3

)=2cosβcos

π

3

，即可得出；
④函數(shù)h（x）=3^x|log₂x|-1，令h（x）=0，化為|log2x|=(

1

3

)x，畫出圖象，即可判斷出；
⑤由△ABC的三邊a，b，c滿足aⁿ+bⁿ=cⁿ（n≥3，n∈N^*），變形為1=(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2，化為a²+b²＞c²．再利用余弦定理即可判斷出．

解答： 解：①函數(shù)y=log₂（sinx+cosx）=log2

2

sin(x+

π

4

)，由0＜

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，
∴y≤log2

2

=

1

2

，可得此函數(shù)的值域?yàn)?span id="ractacf" class="MathJye">(-∞，

1

2

]，因此不正確；
②∵函數(shù)f(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，
∴函數(shù)f(x)=

3

sinx+cosx的圖象可以由函數(shù)g（x）=2sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位得到，正確；
③∵角α，β，γ構(gòu)成公差為

π

3

的等差數(shù)列，cosβ=

1

3

，
∴cosα+cosγ=cos(β-

π

3

)+cos(β+

π

3

)=2cosβcos

π

3

=cosβ=

1

3

≠-

1

3

，
因此③不正確；
④函數(shù)h（x）=3^x|log₂x|-1，令h（x）=0，化為|log2x|=(

1

3

)x，畫出圖象：
由圖象可知：函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，因此不正確；
⑤∵△ABC的三邊a，b，c滿足aⁿ+bⁿ=cⁿ（n≥3，n∈N^*），
∴1=(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2，化為a²+b²＞c²．∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，∴最大角C為銳角．
∴△ABC必為銳角三角形．因此正確．
綜上可知：只有②⑤正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與變換、函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．