Question

求證：關(guān)于x的方程x²+2ax+b=0有實數(shù)根，且兩根均小于2的充分但不必要條件是a≥2且|b|≤4．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)方程x²+2ax+b=0 有實數(shù)根，且兩根均小于2，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a、b 的不等式，解不等式得出a、b的范圍，證明必要性是否成立，
根據(jù)a、b滿足a≥2且|b|≤4的條件，判定關(guān)于x的方程x²+2ax+b=0 有實數(shù)根，且兩根均小于2，證明充分性是否成立．

解答： 證明：必要性，∵關(guān)于x的方程x²+2ax+b=0有實數(shù)根，且兩根均小于2，
∴

(2a)2-4b≥0 - 2a 2 ＜2 f(2)＞0

，即

4a2-4b≥0 a＞-2 4+4a+b＞0

，
∴方程有實數(shù)根且兩根均小于2時，不能得出a≥2，且|b|≤4；
∴必要性不成立．
充分性，∵二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+b的對稱軸為x=-a，
當(dāng)a≥2時，-a≤-2，即-a＜2，
又|b|≤4，∴f（2）=4+4a+b＞0，
△=（2a）²-4b=4a²-4b＞0，
∴二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個交點，橫坐標(biāo)均小于2；
∴方程x²+2ax+b=0有實數(shù)根，且兩根都小于2；
∴充分性成立．
所以，關(guān)于x的方程x²+2ax+b=0有實數(shù)根，且兩根均小于2的充分但不必要條件是a≥2且|b|≤4．

點評：本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程以及二次不等式的問題，解題時應(yīng)結(jié)合這3個“二次”之間的關(guān)系，得出解答問題的條件，是易錯題．