Question

10．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且x≥0，f（x）=log₂（x²-2x+2）．
（1）當(dāng)x＜0時，求f（x）解析式并求值域；
（2）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0，則-x＞0，可得 f（-x）=log₂（x²+2x+2），再根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，求得f（x）的解析式并求值域；
（2）x≥0，f（x）=log₂（x²-2x+2）=log₂[（x-1）²+1]，函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，即可f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=log₂（x²+2x+2）．
再根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得 f（x）=log₂（x²+2x+2）．
由x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，∴l(xiāng)og₂（x²+2x+2）≥0，
∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）的值域為[0，+∞）；
（2）x≥0，f（x）=log₂（x²-2x+2）=log₂[（x-1）²+1]，函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．